Есть несклько версий значения имени монастыря. Первая гласит, что на этой территории есть несколько пещер, которые использовались в качестве монашеских келий, и название монастыря, как полагают, представляет собой комбинацию грузинского слова “коб” и армянского слова “айр”, оба из которых означают “пещера”. По другой версии монастырь часто был яблоком раздора между различными державами, и время от времени, ссорясь из-за того, кому принадлежит монастырь, стороны задавали вопрос: “Это ваш замок (“ко берд” по-армянски)?” Вот почему местные жители также называют монастырь Кобайр.
Кобайр был основан как монастырь в 1171 году Мариам, дочерью короля королевства Лори Киурике II. Расширение монастырского комплекса началось в конце 12- начале 13 века, когда Кобайр был приобретен дворянской семьей Закарян. Закаряне обратили монастырь в халкидонскую веру, христианскую доктрину, которой следовала грузинская церковь. Именно в это время было построено большинство зданий комплекса, в том числе кафедральный собор, колокольня-усыпальница, трапезная, ризница и другие. И именно по этой причине наряду с армянскими надписями на стенах здесь встречаются и тексты на грузинском языке. Рядом с собором Матери Марии находится меньшая церковь, известная как Мариамашен (что означает “построенная Мариам”). Надпись у входа в эту церковь гласит, что она была построена в 1171 году, поэтому считается самым старым сооружением комплекса. Еще одним примечательным сооружением монастыря Кобайр является колокольня-усыпальница, датируемая 1279 годом и представляющая собой редкое сочетание колокольни и места захоронения.
Сегодня до монастыря можно добраться только пешком, через деревню Кобайр.